例如：输入两个字符串BDCABA和ABCBDAB，字符串BCBA和BDAB都是是它们的最长公共子串，则输出它们的长度4，并打印任意一个子串。
分析：求最长公共子串（Longest Common Subsequence, LCS）是一道非常经典的动态规划题，因此一些重视算法的公司像MicroStrategy都把它当作面试题。
完整介绍动态规划将需要很长的篇幅，因此我不打算在此全面讨论动态规划相关的概念，只集中对LCS直接相关内容作讨论。如果对动态规划不是很熟悉，请参考相关算法书比如算法讨论。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bn-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1==bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1时，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1时，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如果有am-1==bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解：
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定输出最长公共字串时搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] == Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成：
回溯输出最长公共子序列过程：
算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。
完整的实现代码如下：
代码如下:
/**
找出两个字符串的最长公共子串的长度
** author :liuzhiwei
** data :2011-08-15
**/
#include "stdio.h"
#include "string.h"
#include "stdlib.h"
int LCSLength(char* str1, char* str2, int **b)
{
int i,j,length1,length2,len;
length1 = strlen(str1);
length2 = strlen(str2);
//双指针的方法申请动态二维数组
int **c = new int*[length1+1]; //共有length1+1行
for(i = 0; i < length1+1; i++)
c[i] = new int[length2+1]; //共有length2+1列
for(i = 0; i < length1+1; i++)
c[i][0]=0; //第0列都初始化为0
for(j = 0; j < length2+1; j++)
c[0][j]=0; //第0行都初始化为0
for(i = 1; i < length1+1; i++)
{
for(j = 1; j < length2+1; j++)
{
if(str1[i-1]==str2[j-1]) //由于c[][]的0行0列没有使用，c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=0; //输出公共子串时的搜索方向
}
else if(c[i-1][j]>c[i][j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=1;
}
else
{
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=-1;
}
}
}
/*
for(i= 0; i < length1+1; i++)
{
for(j = 0; j < length2+1; j++)
printf("%d ",c[i][j]);
printf("n");
}
*/
len=c[length1][length2];
for(i = 0; i < length1+1; i++) //释放动态申请的二维数组
delete[] c[i];
delete[] c;
return len;
}
void PrintLCS(int **b, char *str1, int i, int j)
{
if(i==0 || j==0)
return ;
if(b[i][j]==0)
{
PrintLCS(b, str1, i-1, j-1); //从后面开始递归，所以要先递归到子串的前面，然后从前往后开始输出子串
printf("%c",str1[i-1]); //c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素
}
else if(b[i][j]==1)
PrintLCS(b, str1, i-1, j);
else
PrintLCS(b, str1, i, j-1);
}
int main(void)
{
char str1[100],str2[100];
int i,length1,length2,len;
printf("请输入第一个字符串：");
gets(str1);
printf("请输入第二个字符串：");
gets(str2);
length1 = strlen(str1);
length2 = strlen(str2);
//双指针的方法申请动态二维数组
int **b = new int*[length1+1];
for(i= 0; i < length1+1; i++)
b[i] = new int[length2+1];
len=LCSLength(str1,str2,b);
printf("最长公共子串的长度为：%dn",len);
printf("最长公共子串为：");
PrintLCS(b,str1,length1,length2);
printf("n");
for(i = 0; i < length1+1; i++) //释放动态申请的二维数组
delete[] b[i];
delete[] b;
system("pause");
return 0;
}
程序的效果图如下：
第二种方法为：
代码如下:
/**
找出两个字符串的最长公共子串的长度
** author :liuzhiwei
** data :2011-08-15
**/
#include "stdio.h"
#include "string.h"
#include "stdlib.h"
int LCSLength(char* str1, char* str2) //求得两个字符串的最大公共子串长度并输出公共子串
{
int i,j,length1,length2;
length1 = strlen(str1);
length2 = strlen(str2);
//双指针的方法申请动态二维数组
int **c = new int*[length1+1]; //共有length1+1行
for(i = 0; i < length1+1; i++)
c[i] = new int[length2+1]; //共有length2+1列
for(i = 0; i < length1+1; i++)
c[i][0]=0; //第0列都初始化为0
for(j = 0; j < length2+1; j++)
c[0][j]=0; //第0行都初始化为0
for(i = 1; i < length1+1; i++)
{
for(j = 1; j < length2+1; j++)
{
if(str1[i-1]==str2[j-1]) //由于c[][]的0行0列没有使用，c[][]的第i行元素对应str1的第i-1个元素
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
else if(c[i-1][j]>c[i][j-1])
c[i][j]=c[i-1][j];
else
c[i][j]=c[i][j-1];
}
}
//输出公共子串
char s[100];
int len,k;
len=k=c[length1][length2];
s[k--]='';
i=length1,j=length2;
while(i>0 && j>0)
{
if(str1[i-1]==str2[j-1])
{
s[k--]=str1[i-1];
i--;
j--;
}
else if(c[i-1][j]n)
return m;
else
return n;
}
int max2(int x,int y,int z,int k,int m,int n)
{
int max=-1;
if(x>max)
max=x;
if(y>max)
max=y;
if(z>max)
max=z;
if(k>max)
max=k;
if(m>max)
max=m;
if(n>max)
max=n;
return max;
}
int LCSLength(char* str1, char* str2, char* str3) //求得三个字符串的最大公共子串长度并输出公共子串
{
int i,j,k,length1,length2,length3,len;
length1 = strlen(str1);
length2 = strlen(str2);
length3 = strlen(str3);
//申请动态三维数组
int ***c = new int**[length1+1]; //共有length1+1行
for(i = 0; i < length1+1; i++)
{
c[i] = new int*[length2+1]; //共有length2+1列
for(j = 0; j