public class Employee extends Object and 
public class Manager extends Employee
Employee e = new Manager()
e.department = " Finance " ; // illegal
e.getDetails()；//ligal
department和getDetail分别是Manager中的域和方法，而不是Employee中的。
据解释e在编译时是Employee类型，而在运行时是Manager类型。不知对否？
为什么会是这样？

这么写是合法的

只要department和getDetails()是子类Manager继承父类Employee的，就通过

那是因为对于编译器来说，在那两行的e只是一个Employee的对象，不认为是一个Manager对象（当然在运行过程中它的确是一个Manager对象）
所以e.department，编译器只会在Employee中查找，发现没有这个成员。所以这是非法的。
你必须强制类型转换才可以
((Manager)e).department = "...";

你可以看看think in java的第一章，对这个解释得很清楚

e只是父类一个引用
只要是父类的引用就可以调用子类的对象，
我认为问题可能不在于你的department是那个类的，
而在于它是一个private的，
所以你需要在 Manager类中写一个给department赋值的函数。
然后调用该函数。