1.背包问题介绍

背包问题不单单是一个简单的算法问题，它本质上代表了一大类问题，这类问题实际上是01线性规划问题，其约束条件和目标函数如下：

自从dd_engi在2007年推出《背包问题九讲》之后，背包问题的主要精髓基本已道尽。本文没有尝试对背包问题的本质进行扩展或深入挖掘，而只是从有限的理解（这里指对《背包问题九讲》的理解）出发，帮助读者更快地学习《背包问题九讲》中的提到的各种背包问题的主要算法思想，并通过实例解释了相应的算法，同时给出了几个背包问题的经典应用。

2.背包问题及应用

dd_engi在《背包问题九讲》中主要提到四种背包问题，分别为：01背包问题，完全背包问题，多重背包问题，二维费用背包问题。本节总结了这几种背包问题，并给出了其典型的应用以帮助读者理解这几种问题的本质。

2.101背包问题

（1）问题描述

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

（2）状态转移方程

其中，f(i,v) 表示从前i件物品选择若干物品装到容量为v的背包中产生的最大价值。当v=0时，f(i,v)初始化为0，表示题目不要求背包一定刚好装满，而f(i,v)=inf/-inf（正无穷或负无穷）表示题目要求背包一定要刚好装满。下面几种背包类似，以后不再赘述。

（3） 伪代码

从转移方程上可以看出，前i个物品的最优解只依赖于前i-1个物品最优解，而与前i-2，i-3,…各物品最优无直接关系，可以利用这个特点优化存储空间，即只申请一个一维数组即可，算法时间复杂度（O(VN)）为:

for i=1..N
 
  for v=V..0
 
    f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

注意v的遍历顺序！！！

下面几种背包用到类似优化，以后不再赘述。

（4） 举例

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）背包不一定装满

计算顺序是：从右往左，自上而下：

（2）背包刚好装满

计算顺序是：从右往左，自上而下。注意初始值，其中-inf表示负无穷

（5） 经典题型

[1] 你有一堆石头质量分别为W1,W2,W3…WN.(W＜＝100000,N 0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种 物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。这种方法能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示。这个很容易证明，证明过程中用到以下定理：任何一个整数n均可以表示成：n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^k,其中ak=0或者1(实际上就是n的二进制分解)，

定理：一个正整数n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是满足n-2^k+1>0的最大整数）的形式，且1～n之内的所有整数均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某几个数的和的形式。

该定理的证明如下：

（1） 数列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和为n，所以若干元素的和的范围为：[1, n]；

（2）如果正整数t=2^k,设s=n-2^k+1，则t-s